Time and Work: UPSC/MPSC CSAT साठी संपूर्ण मार्गदर्शन (मराठी)

Time and Work: CSAT साठी संपूर्ण मार्गदर्शक

UPSC आणि MPSC CSAT च्या गणित विभागात ‘काळ आणि काम’ (Time and Work) हा विषय अत्यंत महत्त्वाचा आहे. काळ आणि काम या घटकाचे मुख्य तत्त्व व्यक्तींच्या किंवा गटांच्या कार्यक्षमतेभोवती आणि त्यांना विशिष्ट काम पूर्ण करण्यासाठी लागणाऱ्या वेळेभोवती फिरते. या विषयावर प्रभुत्व मिळवण्यासाठी वेळ आणि कार्यक्षमता यांच्यातील व्यस्त प्रमाण (Inverse Relationship) समजून घेणे आवश्यक आहे, तसेच ‘LCM पद्धत’ (लसावी पद्धत) वापरणे शिकणे गरजेचे आहे, ज्यामुळे पारंपरिक अपूर्णांक पद्धतींपेक्षा गणिते अत्यंत जलद होतात.

1. मुख्य संकल्पना आणि सूत्रे (Core Concepts and Formulas)

मूलभूत तत्त्वे:

• काम = कार्यक्षमता × वेळ (Work = Efficiency × Time)
• कार्यक्षमता (Efficiency) म्हणजे एका एकक वेळेत (उदा. एक दिवस, एक तास) केलेले काम.
• कार्यक्षमता ही लागणाऱ्या वेळेच्या व्यस्त प्रमाणात असते. जर A ला एखादे काम करण्यासाठी B पेक्षा दुप्पट वेळ लागत असेल, तर A ची कार्यक्षमता B च्या निम्मी असते.
• जर A ला एखादे काम करण्यासाठी n दिवस लागत असतील, तर A चे एका दिवसाचे काम = 1/n.

LCM पद्धत (प्रो टेक्निक)

1/x + 1/y यांसारख्या अपूर्णांकांशी व्यवहार करण्याऐवजी, आपण एकूण काम एक सोयीस्कर संख्या मानतो — विशेषतः दिलेल्या वेळेचा लसावी (Least Common Multiple – LCM). यामुळे सर्व काम ‘युनिट्स’ मध्ये आणि कार्यक्षमता ‘प्रति दिवस युनिट्स’ मध्ये रूपांतरित होते.

• पायरी 1: दिलेल्या दिवसांचा लसावी शोधा. हा लसावी ‘एकूण काम’ (Total Work Units) असू द्या.
• पायरी 2: एकूण कामाला त्यांच्या संबंधित दिवसांनी भागून प्रत्येक व्यक्तीचे 1 दिवसाचे काम (कार्यक्षमता) काढा.
• पायरी 3: संयुक्त कार्यक्षमता शोधण्यासाठी प्रश्नानुसार कार्यक्षमतेची बेरीज/वजाबाकी करा.
• पायरी 4: एकूण वेळ = एकूण काम / संयुक्त कार्यक्षमता.

MDH नियम (Chain Rule)

जेव्हा कामगारांचे गट विशिष्ट तास आणि दिवस काम करून एखादे काम पूर्ण करतात त्यांची तुलना करायची असते, तेव्हा आपण खालील सूत्र वापरतो:

(M1 × D1 × H1) / W1 = (M2 × D2 × H2) / W2

जिथे:
M = माणसांची/कामगारांची संख्या
D = दिवसांची संख्या
H = दिवसातील कामाचे तास
W = झालेले काम (जर समान असेल तर W1 = W2 कॅन्सल होते)

2. टप्प्याटप्प्याने स्पष्टीकरणासह सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1 (मूळ LCM पद्धत): A एक काम 10 दिवसांत पूर्ण करू शकतो आणि B तेच काम 15 दिवसांत पूर्ण करू शकतो. जर त्यांनी एकत्र काम केले तर ते किती दिवसांत काम पूर्ण करू शकतील?

पायरी-दर-पायरी उपाय (Step-by-step Solution):

1. A ने घेतलेले दिवस = 10, B = 15.
2. एकूण काम शोधा: 10 आणि 15 चा लसावी 30 आहे. समजा एकूण काम = 30 युनिट्स.
3. कार्यक्षमता (प्रति दिवस युनिट्स) काढा:
   • A ची कार्यक्षमता = 30 / 10 = 3 युनिट्स/दिवस.
   • B ची कार्यक्षमता = 30 / 15 = 2 युनिट्स/दिवस.
4. (A + B) ची संयुक्त कार्यक्षमता = 3 + 2 = 5 युनिट्स/दिवस.
5. लागलेला एकूण वेळ = एकूण काम / संयुक्त कार्यक्षमता = 30 / 5 = 6 दिवस.

उदाहरण 2 (अर्धवट काम सोडणे): A आणि B अनुक्रमे 12 आणि 18 दिवसांत एक काम करू शकतात. ते एकत्र काम सुरू करतात, पण 3 दिवसांनंतर A काम सोडतो. उरलेले काम पूर्ण करण्यासाठी B ला किती दिवस लागतील?

पायरी-दर-पायरी उपाय:

1. एकूण काम = LCM(12, 18) = 36 युनिट्स.
2. A ची कार्यक्षमता = 36 / 12 = 3 युनिट्स/दिवस.
3. B ची कार्यक्षमता = 36 / 18 = 2 युनिट्स/दिवस.
4. संयुक्त कार्यक्षमता (A + B) = 3 + 2 = 5 युनिट्स/दिवस.
5. पहिल्या 3 दिवसांत झालेले काम = 5 × 3 = 15 युनिट्स.
6. उरलेले काम = 36 – 15 = 21 युनिट्स.
7. B उरलेले काम एकटा पूर्ण करतो. वेळ = उरलेले काम / B ची कार्यक्षमता = 21 / 2 = 10.5 दिवस.

उदाहरण 3 (MDH नियम): जर 12 माणसे दिवसाला 8 तास काम करून 24 दिवसांत एक भिंत बांधू शकतात, तर दिवसाला 6 तास काम करून तीच भिंत 16 माणसे किती दिवसांत बांधू शकतील?

पायरी-दर-पायरी उपाय:

1. MDH सूत्र वापरा: M1 × D1 × H1 = M2 × D2 × H2 (काम समान असल्याने, W1 = W2)
2. येथे, M1 = 12, D1 = 24, H1 = 8.
3. आणि, M2 = 16, D2 = ?, H2 = 6.
4. किमती टाका: 12 × 24 × 8 = 16 × D2 × 6.
5. 2304 = 96 × D2
6. D2 = 2304 / 96 = 24 दिवस.

3. सामान्य चुका टाळण्यासाठी प्रो-टिप्स (Pro-Tips)

• अपूर्णांक टाळा: शक्य असेल तेव्हा अपूर्णांक पद्धत (1/x) टाळा. यामुळे गणिते गुंतागुंतीची होतात आणि चुका होण्याची शक्यता वाढते. कायम LCM पद्धतीचा वापर करा.
• पर्यायी कामाचे दिवस (Alternate Days): जर लोक एक दिवस आड काम करत असतील, तर काळजी घ्या. 2 दिवसांच्या ‘सायकल’ मधील काम काढा आणि एकूण कामाच्या जवळ जाण्यासाठी योग्य संख्येने गुणा, पण काम ओलांडू देऊ नका.
• नकारात्मक काम (Negative Work): पाइप्स आणि टाक्या (Pipes and Cisterns) च्या प्रश्नांमध्ये लक्षात ठेवा की गळती किंवा रिकामी करणारा पाइप नकारात्मक काम करतो. त्याची कार्यक्षमता वजा करा.
• MDH सूत्राचा वापर: ‘काम’ (W) हा घटक छेदात (Denominator) योग्य प्रकारे ठेवल्याची खात्री करा. जर दुसऱ्या गटाला ‘दुप्पट काम’ करायचे असेल, तर W2 = 2 × W1 ठेवा.

4. सराव प्रश्न (Practice Questions)

1. P एक काम 20 दिवसांत आणि Q तेच काम 30 दिवसांत पूर्ण करू शकतो. त्यांना एकत्र पूर्ण करण्यासाठी किती वेळ लागेल? (उत्तर: 12 दिवस)
2. A हा B पेक्षा दुप्पट चांगला कामगार आहे आणि ते एकत्र एक काम 14 दिवसांत पूर्ण करतात. तर A एकटा किती दिवसांत काम पूर्ण करू शकेल? (उत्तर: 21 दिवस)
3. 15 माणसांना दिवसाला 8 तास काम करून एक काम पूर्ण करण्यासाठी 20 दिवस लागतात. 12 दिवसांत काम पूर्ण करण्यासाठी 20 माणसांनी दिवसाला किती तास काम केले पाहिजे? (उत्तर: 10 तास)
4. A, B आणि C एक काम अनुक्रमे 24, 6 आणि 12 दिवसांत पूर्ण करू शकतात. एकत्र काम केल्यास, ते तेच काम किती दिवसांत पूर्ण करतील? (उत्तर: 3.42 किंवा 24/7 दिवस)