Pipes and Cisterns: UPSC/MPSC CSAT साठी संपूर्ण मार्गदर्शन (मराठी)

नळ आणि टाकी (Pipes and Cisterns) – प्रस्तावना

“नळ आणि टाकी” (Pipes and Cisterns) ही संकल्पना UPSC CSAT आणि MPSC सारख्या स्पर्धा परीक्षांच्या गणितीय बुद्धिमत्ता (Quantitative Aptitude) अभ्यासक्रमाचा एक अविभाज्य भाग आहे. मूलत:, याचे तर्कशास्त्र “काळ आणि काम” (Time and Work) च्या संकल्पनेसारखेच आहे. काळ आणि काम या विषयात आपण व्यक्तींनी केलेल्या कामाची गणना करतो, तर नळ आणि टाकी मध्ये आपण टाकीमध्ये नळांद्वारे भरल्या गेलेल्या किंवा रिकाम्या केलेल्या पाण्याच्या प्रमाणाचे मोजमाप करतो.

या विषयाचे आकलन असणे अत्यंत महत्त्वाचे आहे कारण यावर आधारित प्रश्न परीक्षांमध्ये वारंवार विचारले जातात. यातून तुमची तार्किक कपात, अपूर्णांकांची गणना आणि कामाच्या वेगवेगळ्या दरांचे आकलन तपासले जाते. काळ आणि काम यांच्यातील प्राथमिक फरक म्हणजे “नकारात्मक काम” (Negative Work) ची ओळख, जे टाकी रिकामी करणाऱ्या नळांचे प्रतिनिधित्व करते.

मुख्य संकल्पना आणि सूत्रे (Core Concepts and Formulas)

उदाहरणे सोडवण्यापूर्वी, काही मूलभूत संज्ञा आणि त्यांचे नियम समजून घेणे महत्त्वाचे आहे:

• भरणारा नळ (Inlet): टाकी भरणाऱ्या नळाला भरणारा नळ (Inlet) म्हणतात. भरणाऱ्या नळाने केलेले काम नेहमी सकारात्मक (Positive) मानले जाते.
• रिकामा करणारा नळ (Outlet): टाकी रिकामी करणाऱ्या नळाला रिकामा करणारा नळ (Outlet) म्हणतात. रिकामा करणाऱ्या नळाने केलेले काम नेहमी नकारात्मक (Negative) मानले जाते.

महत्त्वाची सूत्रे (Important Formulas)

• जर एक नळ एक टाकी $x$ तासांत भरू शकत असेल, तर 1 तासात भरला जाणारा टाकीचा भाग = $\frac{1}{x}$.
• जर एक नळ भरलेली टाकी $y$ तासांत रिकामी करू शकत असेल, तर 1 तासात रिकामा होणारा टाकीचा भाग = $\frac{1}{y}$.
• जर एक नळ टाकी $x$ तासांत भरतो आणि दुसरा नळ भरलेली टाकी $y$ तासांत रिकामी करतो (जिथे $y > x$), तर दोन्ही नळ एकत्र उघडल्यास, 1 तासात भरला जाणारा टाकीचा निव्वळ भाग = $\left(\frac{1}{x} – \frac{1}{y}\right)$.
• जर एक नळ टाकी $x$ तासांत भरतो आणि दुसरा नळ भरलेली टाकी $y$ तासांत रिकामी करतो (जिथे $x > y$), तर दोन्ही नळ एकत्र उघडल्यास, 1 तासात रिकामा होणारा टाकीचा निव्वळ भाग = $\left(\frac{1}{y} – \frac{1}{x}\right)$.

सामान्य चुका टाळण्यासाठी प्रो-टिप्स (Pro-Tips)

• लसावी पद्धतीचा वापर करा (LCM Method): अपूर्णांकांशी (जसे $\frac{1}{x}$) संघर्ष करण्याऐवजी, दिलेल्या वेळेचा लघुत्तम सामायिक विभाज्य (LCM/लसावी) काढून त्याला टाकीची एकूण क्षमता मानून घ्या. प्रत्येक नळाची कार्यक्षमता (प्रति तास/मिनिट पाण्याचे युनिट्स) काढा. यामुळे गणिताचा वेग लक्षणीयरीत्या वाढतो.
• चिन्हांकडे लक्ष द्या (Mind the Signs): नळ भरणारा आहे (+) की रिकामा करणारा आहे (-) हे नेहमी तपासा. रिकामा करणाऱ्या नळाची कार्यक्षमता वजा करण्याऐवजी मिळवणे ही एक सामान्य चूक आहे.
• काळजीपूर्वक वाचा: प्रश्नात उर्वरित टाकी भरण्यासाठी लागणारा वेळ विचारला आहे की संपूर्ण टाकी भरण्यासाठी लागणारा एकूण वेळ विचारला आहे याकडे लक्ष द्या.
• टाकीची सुरुवातीची अवस्था: सुरुवातीला टाकी रिकामी आहे, अंशतः भरलेली आहे, की पूर्णपणे भरलेली आहे हे लक्षात घ्या.

स्पष्टीकरणासह सोडवलेली उदाहरणे (Solved Examples)

उदाहरण 1: मूलभूत भरणारे नळ

प्रश्न: दोन नळ A आणि B अनुक्रमे 20 मिनिटे आणि 30 मिनिटांत एक टाकी भरू शकतात. जर दोन्ही नळ एकत्र उघडले, तर त्यांना टाकी पूर्णपणे भरण्यासाठी किती वेळ लागेल?

स्पष्टीकरण:

• पद्धत 1 (अपूर्णांक पद्धत): A ने 1 मिनिटात भरलेला भाग = $\frac{1}{20}$. B ने 1 मिनिटात भरलेला भाग = $\frac{1}{30}$. (A + B) ने 1 मिनिटात भरलेला भाग = $\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$. म्हणून, दोन्ही नळ मिळून टाकी 12 मिनिटांत भरू शकतात.
• पद्धत 2 (लसावी पद्धत): टाकीची एकूण क्षमता 20 आणि 30 चा लसावी = 60 युनिट्स मानूया. A ची कार्यक्षमता = $\frac{60}{20} = 3$ युनिट्स/मिनिट. B ची कार्यक्षमता = $\frac{60}{30} = 2$ युनिट्स/मिनिट. एकूण कार्यक्षमता (A + B) = $3 + 2 = 5$ युनिट्स/मिनिट. लागणारा एकूण वेळ = $\frac{\text{एकूण क्षमता}}{\text{एकूण कार्यक्षमता}} = \frac{60}{5} = 12$ मिनिटे.

उदाहरण 2: भरणारा आणि रिकामा करणारा नळ एकत्र

प्रश्न: नळ A 10 तासांत एक टाकी भरू शकतो. नळ B तीच टाकी 15 तासांत रिकामी करू शकतो. जर दोन्ही नळ एकाच वेळी उघडले, तर रिकामी टाकी भरण्यासाठी किती वेळ लागेल?

स्पष्टीकरण:

• टाकीची एकूण क्षमता = 10 आणि 15 चा लसावी = 30 युनिट्स.
• A ची कार्यक्षमता (भरणारा) = $\frac{30}{10} = +3$ युनिट्स/तास.
• B ची कार्यक्षमता (रिकामा करणारा) = $\frac{30}{15} = -2$ युनिट्स/तास.
• प्रभावी कार्यक्षमता (A + B) = $3 + (-2) = +1$ युनिट/तास (हे सकारात्मक असल्यामुळे, टाकी भरत आहे).
• टाकी भरण्यासाठी लागणारा वेळ = $\frac{30}{1} = 30$ तास.

उदाहरण 3: गळतीची समस्या (Leakage Problem)

प्रश्न: एक पंप 2 तासांत टाकी पाण्याने भरू शकतो. टाकीतील गळतीमुळे (leak), टाकी भरण्यासाठी $2\frac{1}{3}$ तास लागले. जर टाकी भरलेली असेल, तर गळतीला ती रिकामी करण्यासाठी किती वेळ लागेल?

स्पष्टीकरण:

• गळतीशिवाय पंप (P) ने घेतलेला वेळ = 2 तास.
• पंप (P) + गळती (L) द्वारे घेतलेला वेळ = $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ तास.
• P ने 1 तासात भरलेला भाग = $\frac{1}{2}$.
• (P + L) ने 1 तासात भरलेला भाग = $\frac{1}{7/3} = \frac{3}{7}$.
• गळतीने 1 तासात केलेले काम = (P+L ने भरलेला भाग) – (P ने भरलेला भाग) = $\frac{3}{7} – \frac{1}{2} = \frac{6 – 7}{14} = -\frac{1}{14}$.
• नकारात्मक चिन्ह दर्शवते की गळती टाकी रिकामी करत आहे. ती 1 तासात टाकीचा $\frac{1}{14}$ भाग रिकामी करते.
• त्यामुळे, गळती 14 तासांत पूर्ण टाकी रिकामी करेल.

उदाहरण 4: काही काळानंतर नळ बंद करणे

प्रश्न: दोन नळ A आणि B अनुक्रमे 15 मिनिटे आणि 20 मिनिटांत एक टाकी भरू शकतात. दोन्ही नळ एकत्र उघडले जातात, पण 4 मिनिटांनंतर, नळ A बंद केला जातो. टाकी भरण्यासाठी लागणारा एकूण वेळ किती?

स्पष्टीकरण:

• एकूण क्षमता = 15 आणि 20 चा लसावी = 60 युनिट्स.
• A ची कार्यक्षमता = $\frac{60}{15} = 4$ युनिट्स/मिनिट.
• B ची कार्यक्षमता = $\frac{60}{20} = 3$ युनिट्स/मिनिट.
• पहिल्या 4 मिनिटांसाठी, A आणि B दोन्ही उघडे आहेत. 4 मिनिटांत झालेले काम = $4 \times (4 + 3) = 4 \times 7 = 28$ युनिट्स.
• भरायची शिल्लक क्षमता = $60 – 28 = 32$ युनिट्स.
• आता, नळ A बंद आहे. उरलेले 32 युनिट्स एकटा नळ B भरेल.
• उर्वरित भाग भरण्यासाठी B ने घेतलेला वेळ = $\frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}$ मिनिटे.
• लागलेला एकूण वेळ = सुरुवातीचे 4 मिनिटे + $10\frac{2}{3}$ मिनिटे = $14\frac{2}{3}$ मिनिटे.

उदाहरण 5: एकापेक्षा जास्त समान नळ

प्रश्न: एक नळ 6 तासांत एक टाकी भरू शकतो. अर्धी टाकी भरल्यानंतर, आणखी तीन समान नळ उघडले जातात. टाकी पूर्णपणे भरण्यासाठी लागणारा एकूण वेळ किती?

स्पष्टीकरण:

• संपूर्ण टाकी भरण्यासाठी एका नळाला लागणारा वेळ = 6 तास.
• अर्धी टाकी भरण्यासाठी एका नळाला लागणारा वेळ = 3 तास.
• टाकीचा उर्वरित भाग = $\frac{1}{2}$.
• आता, आणखी 3 समान नळ उघडले आहेत, एकूण 4 नळ झाले.
• जर 1 नळाला पूर्ण टाकी भरण्यासाठी 6 तास लागतात, तर 4 नळांना पूर्ण टाकी भरण्यासाठी $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ तास = 1 तास 30 मिनिटे लागतील.
• त्यामुळे, 4 नळांना उर्वरित अर्धी टाकी भरण्यासाठी या वेळेच्या निम्मा वेळ लागेल = $\frac{1.5}{2}$ तास = $0.75$ तास = 45 मिनिटे.
• लागलेला एकूण वेळ = 3 तास (सुरुवातीचे) + 45 मिनिटे = 3 तास 45 मिनिटे.

सराव प्रश्न (Practice Questions)

1. तीन नळ A, B आणि C अनुक्रमे 30 मिनिटे, 20 मिनिटे आणि 10 मिनिटांत एक रिकामी टाकी पूर्ण भरू शकतात. जेव्हा टाकी रिकामी असते, तेव्हा तीनही नळ उघडले जातात. A, B आणि C अनुक्रमे P, Q आणि R ही रासायनिक द्रावणे सोडतात. 3 मिनिटांनंतर टाकीतील द्रवामध्ये द्रावण R चे प्रमाण किती असेल?
2. दोन नळ A आणि B अनुक्रमे 24 मिनिटे आणि 32 मिनिटांत एक टाकी भरू शकतात. दोन्ही नळ एकाच वेळी उघडल्यास, 18 मिनिटांत टाकी भरण्यासाठी B ला किती वेळानंतर बंद करावे?
3. एक टाकी सामान्यतः 8 तासांत भरली जाते, परंतु तिच्या तळाशी असलेल्या गळतीमुळे भरण्यासाठी दोन तास जास्त लागतात. टाकी भरलेली असल्यास, गळती ती किती तासांत रिकामी करेल?
4. नळ A एक टाकी 16 मिनिटांत भरू शकतो आणि नळ B ती 24 मिनिटांत रिकामी करू शकतो. जर दोन्ही नळ एकत्र उघडले, तर टाकी 30 मिनिटांत भरण्यासाठी नळ B किती मिनिटांनंतर बंद करावा?