1. अंकगणित के उच्च-प्रतिफल सूत्र
अंकगणित
अंकगणित (Arithmetic) SSC CGL मात्रात्मक अभिरुचि खंड का मुख्य हिस्सा है। प्रश्नों को तेजी से हल करने के लिए मुख्य संबंधों और प्रतिशत परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करें।
🔄 प्रतिशत और क्रमिक परिवर्तन (Percentages & Successive Change)
प्रतिशत रूपांतरण आपको जटिल गुणा को सरल विभाजन में बदलने की अनुमति देता है। नीचे दिए गए भिन्न-से-प्रतिशत रूपांतरणों को याद करें:
| भिन्न (Fraction) | प्रतिशत मान (Percentage) | भिन्न (Fraction) | प्रतिशत मान (Percentage) |
|---|---|---|---|
| 1/2 | 50% | 1/9 | 11.11% (11 1/9%) |
| 1/3 | 33.33% (33 1/3%) | 1/11 | 9.09% (9 1/11%) |
| 1/4 | 25% | 1/12 | 8.33% (8 1/3%) |
| 1/5 | 20% | 1/15 | 6.67% (6 2/3%) |
| 1/6 | 16.67% (16 2/3%) | 1/16 | 6.25% (6 1/4%) |
| 1/7 | 14.28% (14 2/7%) | 1/24 | 4.16% (4 1/6%) |
| 1/8 | 12.5% (12 1/2%) | 1/25 | 4% |
क्रमिक प्रतिशत परिवर्तन (Successive Percentage Change)
कुल परिवर्तन (%) = a + b + (a * b) / 100(नोट: वृद्धि/लाभ के लिए ‘+’ और कमी/हानि/छूट के लिए ‘-‘ का उपयोग करें)
स्थिर व्यय नियम (Constant Expenditure Rule)
यदि मूल्य में P% की वृद्धि होती है, तो व्यय को स्थिर रखने के लिए खपत में निम्न कमी की जानी चाहिए:कमी (%) = [ P / (100 + P) ] * 100
🏷️ लाभ, हानि और छूट (Profit, Loss & Discount)
क्रय मूल्य (CP), अंकित मूल्य (MP) और छूट (Discount) के बीच सीधे संबंध का उपयोग करने पर लाभ और हानि की गणना अत्यंत सरल हो जाती है।
CP और MP का संबंध (अत्यंत महत्वपूर्ण)
MP / CP = (100 + Profit%) / (100 – Discount%)(नोट: यदि हानि L% हो, तो Profit% के स्थान पर -L% रखें)
बेईमान दुकानदार का सूत्र (Dishonest Dealer Formula)
लाभ (%) = [ त्रुटि / (वास्तविक मान – त्रुटि) ] * 100वैकल्पिक सूत्र: लाभ (%) = [ (वास्तविक वजन – गलत वजन) / गलत वजन ] * 100
💰 साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज (Simple & Compound Interest)
प्रभावी दरों या साधारण ब्याज (SI) और चक्रवृद्धि ब्याज (CI) के अंतर के सूत्रों का उपयोग करके चक्रवृद्धि ब्याज की गणना को सरल बनाया जा सकता है।
साधारण ब्याज (Simple Interest – SI)
SI = (P * R * T) / 100(जहाँ P = मूलधन, R = ब्याज दर %, T = समय वर्ष में)
चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest – CI)
मिश्रधन (A) = P * (1 + R/100)^TCI = A – P
साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज के अंतर का सूत्र (SI & CI Difference)
2 वर्ष के लिए: अंतर (D2) = P * (R / 100)^23 वर्ष के लिए: अंतर (D3) = P * (R / 100)^2 * [ (300 + R) / 100 ]
⏱️ समय और कार्य, पाइप और टंकी (Time & Work, Pipes & Cisterns)
जब कुल कार्य स्थिर (constant) होता है, तो कार्यक्षमता (Efficiency) लिए गए समय के व्युत्क्रमानुपाती (inversely proportional) होती है।
कार्यक्षमता और दिन (Efficiency & Days)
कुल कार्य = कार्यक्षमता * समययदि A किसी कार्य को x दिनों में करता है, और B उसे y दिनों में करता है: तो वे दोनों मिलकर कार्य को [ (x * y) / (x + y) ] दिनों में समाप्त करेंगे।
MDH नियम – समूह कार्यक्षमता (MDH Rule)
(M1 * D1 * H1 * E1) / W1 = (M2 * D2 * H2 * E2) / W2जहाँ M = व्यक्तियों की संख्या, D = दिन, H = घंटे, E = कार्यक्षमता, W = कार्य
🏃 चाल, समय, दूरी और नाव-धारा (Speed, Time, Distance & Boats)
सापेक्ष चाल (Relative speed) यात्रा की दिशा पर निर्भर करती है, जबकि नाव और धारा से संबंधित प्रश्नों में धारा के प्रवाह के प्रभाव को समझना आवश्यक है।
चाल का रूपांतरण (Speed Conversions)
1 किमी/घंटा (km/h) = 5/18 मीटर/सेकंड (m/s)1 मीटर/सेकंड (m/s) = 18/5 किमी/घंटा (km/h)
औसत चाल (Average Speed)
यदि समान दूरियों को क्रमशः ‘u’ और ‘v’ चाल से तय किया जाता है: औसत चाल = 2uv / (u + v)यदि अलग-अलग दूरियां हों: औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय
नाव और धारा (Boats & Streams)
मान लीजिए u = शांत जल में नाव की चाल, v = धारा की चाल• अनुप्रवाह चाल (Downstream – धारा की दिशा में) (D) = u + v
• ऊर्ध्वप्रवाह चाल (Upstream – धारा के विपरीत) (U) = u – v
• शांत जल में नाव की चाल (u) = (D + U) / 2
• धारा की चाल (v) = (D – U) / 2
2. अग्रिम गणित के उच्च-प्रतिफल सूत्र
अग्रिम गणित
अग्रिम गणित (Advance Maths) SSC CGL में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, विशेष रूप से Tier-2 परीक्षा में। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं और ज्यामितीय प्रमेयों को याद रखने पर विशेष ध्यान दें।
🔑 बीजगणित के सूत्र और सममित रूप (Algebra Identities & Symmetric Forms)
समीकरण रूप x + 1/x वाले सममित बीजगणितीय पद (Symmetric algebraic terms) SSC परीक्षाओं में बार-बार पूछे जाते हैं।
मूलभूत द्विघात और घन सर्वसमिकाएँ (Basic Identities)
• (a + b)^2 + (a – b)^2 = 2(a^2 + b^2)• (a + b)^2 – (a – b)^2 = 4ab
• a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca)
• a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = 0.5 * (a + b + c)[(a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2]
• यदि a + b + c = 0, तो: a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
यदि x + 1/x = k, तो:
• x^2 + 1/x^2 = k^2 – 2• x^3 + 1/x^3 = k^3 – 3k
• x^4 + 1/x^4 = (k^2 – 2)^2 – 2
• x^5 + 1/x^5 = (x^2 + 1/x^2)(x^3 + 1/x^3) – (x + 1/x) = (k^2 – 2)(k^3 – 3k) – k
• x^6 + 1/x^6 = (k^3 – 3k)^2 – 2
यदि x – 1/x = k, तो:
• x^2 + 1/x^2 = k^2 + 2• x^3 – 1/x^3 = k^3 + 3k
📐 त्रिकोणमिति अनुपात और मान (Trigonometry Ratios & Values)
मानक कोणों के मान और पारस्परिक संबंध (reciprocal relationships) त्रिकोणमिति के प्रश्नों को हल करने के सबसे प्रभावी तरीके हैं।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Identities)
• sin^2 θ + cos^2 θ = 1• sec^2 θ – tan^2 θ = 1 ⇒ (sec θ – tan θ) = 1 / (sec θ + tan θ)
• cosec^2 θ – cot^2 θ = 1 ⇒ (cosec θ – cot θ) = 1 / (cosec θ + cot θ)
| अनुपात (Ratio) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin θ | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos θ | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan θ | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ |
पूरक कोण (Complementary Angles – यदि A + B = 90° हो)
• sin A = cos B | cosec A = sec B | tan A * tan B = 1• sin^2 A + sin^2 B = 1 | cos^2 A + cos^2 B = 1
🔮 ज्यामिति के महत्वपूर्ण गुण (त्रिभुज और वृत्त)
त्रिभुज के केंद्रों के गुणों और जीवाओं (chords) व स्पर्शरेखाओं (tangents) से संबंधित वृत्त के नियमों को अच्छी तरह समझें।
त्रिभुज के केंद्र और कोण (Triangle Centers & Angles)
• अंतःकेंद्र (Incenter): ∠BIC = 90° + ∠A/2• लंबकेंद्र (Orthocenter): ∠BOC = 180° – ∠A
• परिकेंद्र (Circumcenter): ∠BSC = 2∠A
अंतःत्रिज्या (Inradius) और परित्रिज्या (Circumradius)
• सामान्य नियम: अंतःत्रिज्या (r) = क्षेत्रफल / अर्धपरिमाप (s) | परित्रिज्या (R) = abc / 4 × क्षेत्रफल• समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle): अंतःत्रिज्या (r) = a / 2√3 | परित्रिज्या (R) = a / √3
वृत्त की स्पर्शरेखा के सूत्र (Circle Tangents)
• उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा (Direct Common Tangent – DCT) = √[ d^2 – (R – r)^2 ]• उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा (Transverse Common Tangent – TCT) = √[ d^2 – (R + r)^2 ]
• स्पर्शरेखा-छेदक रेखा गुण (Tangent Secant Property): PT^2 = PA * PB (जहाँ PT स्पर्शरेखा है, PAB छेदक रेखा है)
📦 क्षेत्रमिति 2D और 3D – क्षेत्रफल और आयतन (Mensuration)
2D आकृतियों के क्षेत्रफल और 3D आकृतियों के आयतन/पृष्ठ क्षेत्रफल के सूत्रों को अच्छी तरह याद करना अनिवार्य है।
| आकार (3D Shape) | आयतन (Volume) | वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (CSA) | कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) |
|---|---|---|---|
| घनाभ (Cuboid) | l * b * h | 2h(l + b) | 2(lb + bh + hl) |
| घन (Cube) | a^3 | 4a^2 | 6a^2 |
| बेलन (Cylinder) | π * r^2 * h | 2 * π * r * h | 2 * π * r * (r + h) |
| शंकु (Cone) | (1/3) * π * r^2 * h | π * r * l (जहाँ l = √[r^2+h^2]) | π * r * (r + l) |
| गोला (Sphere) | (4/3) * π * r^3 | 4 * π * r^2 | 4 * π * r^2 |
| अर्धगोला (Hemisphere) | (2/3) * π * r^3 | 2 * π * r^2 | 3 * π * r^2 |
3. शॉर्टकट्स और त्वरित ट्रिक्स
शॉर्टकट्स
समय बचाने के लिए शॉर्टकट्स का उपयोग करना महत्वपूर्ण है। अपनी गणना की गति को दोगुना (2x) करने के लिए इन मानसिक गणित हैक्स को लागू करें।
⚡ 1. अंकों का योग (डिजिटल सम – Digital Sum) की अवधारणा
डिजिटल सम किसी संख्या के अंकों का तब तक किया जाने वाला योग है जब तक कि केवल एक अंक शेष न रह जाए। इस प्रक्रिया में, 9 को 0 माना जाता है (या इसे अनदेखा कर दिया जाता है)।
उदाहरण (Example): 4567 का डिजिटल सम = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 ⇒ 2 + 2 = 4.
अनुप्रयोग (Application): समीकरण 345 * 12 = 4140 में डिजिटल सम की जाँच करें:
• DS(345) = 3+4+5 = 12 ⇒ 1+2 = 3.
• DS(12) = 1+2 = 3.
• गुणनफल का DS = 3 * 3 = 9 (या 0).
• DS(4140) = 4+1+4+0 = 9. एलएचएस (LHS) और आरएचएस (RHS) के डिजिटल सम आपस में मेल खाते हैं! सेकंडों में गलत विकल्पों को हटाने के लिए इसका उपयोग करें।
अनुप्रयोग (Application): समीकरण 345 * 12 = 4140 में डिजिटल सम की जाँच करें:
• DS(345) = 3+4+5 = 12 ⇒ 1+2 = 3.
• DS(12) = 1+2 = 3.
• गुणनफल का DS = 3 * 3 = 9 (या 0).
• DS(4140) = 4+1+4+0 = 9. एलएचएस (LHS) और आरएचएस (RHS) के डिजिटल सम आपस में मेल खाते हैं! सेकंडों में गलत विकल्पों को हटाने के लिए इसका उपयोग करें।
📐 2. पाइथागोरस ट्रिपलेट (Pythagorean Triplets)
पाइथागोरस ट्रिपलेट तीन पूर्णांकों (a, b, c) का एक समूह होता है जो a^2 + b^2 = c^2 को संतुष्ट करता है। इन्हें याद रखने से ज्यामिति, त्रिकोणमिति और क्षेत्रमिति के प्रश्नों में बहुत समय बचता है।
| प्राथमिक ट्रिपलेट (Primary Triplets) | सामान्य गुणज (Common Multiples – ये भी वैध ट्रिपलेट हैं) |
|---|---|
| 3, 4, 5 | 6, 8, 10 | 9, 12, 15 | 12, 16, 20 | 15, 20, 25 |
| 5, 12, 13 | 10, 24, 26 | 15, 36, 39 |
| 8, 15, 17 | 16, 30, 34 |
| 7, 24, 25 | 14, 48, 50 |
| 9, 40, 41 | 18, 80, 82 |
| 20, 21, 29 | 40, 42, 58 |
📈 3. क्रमिक प्रतिशत ट्रिक (भिन्न विधि – Fraction Method)
सूत्र a + b + ab/100 का उपयोग करने के बजाय, जो गैर-पूर्णांक दरों (जैसे 12.5%, 16.67%) के लिए काफी जटिल हो जाता है, अनुपात (Ratio) विधि का उपयोग करें।
उदाहरण (Example): एक शहर की जनसंख्या पहले वर्ष में 12.5% और दूसरे वर्ष में 16.67% बढ़ जाती है। कुल प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।
• 12.5% वृद्धि = 1/8 की वृद्धि ⇒ अनुपात = 8 से 9
• 16.67% वृद्धि = 1/6 की वृद्धि ⇒ अनुपात = 6 से 7
• प्रारंभिक और अंतिम अनुपातों का गुणा करें: (8 * 6) से (9 * 7) ⇒ 48 से 63 ⇒ 16 से 21
• कुल वृद्धि = (5 / 16) * 100 = 31.25%
• 12.5% वृद्धि = 1/8 की वृद्धि ⇒ अनुपात = 8 से 9
• 16.67% वृद्धि = 1/6 की वृद्धि ⇒ अनुपात = 6 से 7
• प्रारंभिक और अंतिम अनुपातों का गुणा करें: (8 * 6) से (9 * 7) ⇒ 48 से 63 ⇒ 16 से 21
• कुल वृद्धि = (5 / 16) * 100 = 31.25%
4. हल के साथ मॉक बहुविकल्पीय प्रश्न
मॉक टेस्ट
परीक्षा पैटर्न पर आधारित इन वास्तविक प्रश्नों का अभ्यास करें और देखें कि कैसे 30 सेकंड से कम समय में उत्तर खोजने के लिए सूत्रों और शॉर्टकट्स का उपयोग किया जाता है।
Q1. एक बेईमान दूधवाला दूध को उसके क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है लेकिन वह इसमें पानी मिलाता है और इस प्रकार 25% का लाभ कमाता है। मिश्रण में पानी का प्रतिशत कितना है?
शॉर्टकट हल देखें (View Solution)
सही उत्तर: B) 20%
शॉर्टकट दृष्टिकोण:
• 25% का लाभ पूरी तरह से मिलाए गए पानी के कारण है।
• भिन्न में 25% = 1/4 होता है।
• इसका अर्थ है कि यदि दूध (क्रय मूल्य भाग) = 4 इकाई है, तो पानी (लाभ भाग) = 1 इकाई है।
• कुल मिश्रण = दूध + पानी = 4 + 1 = 5 इकाई।
• मिश्रण में पानी का प्रतिशत = [ पानी / कुल मिश्रण ] * 100 = [ 1 / 5 ] * 100 = 20%.
• समय की बचत: कीमतों या वजन को मानने की कोई आवश्यकता नहीं है!
शॉर्टकट दृष्टिकोण:
• 25% का लाभ पूरी तरह से मिलाए गए पानी के कारण है।
• भिन्न में 25% = 1/4 होता है।
• इसका अर्थ है कि यदि दूध (क्रय मूल्य भाग) = 4 इकाई है, तो पानी (लाभ भाग) = 1 इकाई है।
• कुल मिश्रण = दूध + पानी = 4 + 1 = 5 इकाई।
• मिश्रण में पानी का प्रतिशत = [ पानी / कुल मिश्रण ] * 100 = [ 1 / 5 ] * 100 = 20%.
• समय की बचत: कीमतों या वजन को मानने की कोई आवश्यकता नहीं है!
Q2. यदि x + 1/x = 3 है, तो x⁵ + 1/x⁵ का मान क्या होगा?
शॉर्टकट हल देखें (View Solution)
सही उत्तर: B) 123
शॉर्टकट दृष्टिकोण:
सममित सूत्र का उपयोग करें: x⁵ + 1/x⁵ = (x² + 1/x²)(x³ + 1/x³) – (x + 1/x)
दिया गया है k = 3:
• x² + 1/x² = k² – 2 = 3² – 2 = 7
• x³ + 1/x³ = k³ – 3k = 3³ – 3(3) = 27 – 9 = 18
• इसलिए, x⁵ + 1/x⁵ = (7 * 18) – 3 = 126 – 3 = 123.
• समय की बचत: केवल 3 सरल अंकगणितीय चरणों में हल!
शॉर्टकट दृष्टिकोण:
सममित सूत्र का उपयोग करें: x⁵ + 1/x⁵ = (x² + 1/x²)(x³ + 1/x³) – (x + 1/x)
दिया गया है k = 3:
• x² + 1/x² = k² – 2 = 3² – 2 = 7
• x³ + 1/x³ = k³ – 3k = 3³ – 3(3) = 27 – 9 = 18
• इसलिए, x⁵ + 1/x⁵ = (7 * 18) – 3 = 126 – 3 = 123.
• समय की बचत: केवल 3 सरल अंकगणितीय चरणों में हल!
Q3. 9 सेमी और 4 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं। उनकी उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा (Direct Common Tangent) की लंबाई ज्ञात कीजिए।
शॉर्टकट हल देखें (View Solution)
सही उत्तर: B) 12 सेमी
शॉर्टकट दृष्टिकोण:
• जब R और r त्रिज्या वाले दो वृत्त बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी (d) बिल्कुल R + r होती है।
• DCT सूत्र में d = R + r रखने पर:
DCT = √[ (R + r)² – (R – r)² ] = √[ 4Rr ] = 2√(Rr)
• यहाँ, R = 9 सेमी और r = 4 सेमी है।
• DCT = 2 * √(9 * 4) = 2 * √36 = 2 * 6 = 12 सेमी.
• समय की बचत: बाहरी रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए सीधे 2√(Rr) का उपयोग करें।
शॉर्टकट दृष्टिकोण:
• जब R और r त्रिज्या वाले दो वृत्त बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं, तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी (d) बिल्कुल R + r होती है।
• DCT सूत्र में d = R + r रखने पर:
DCT = √[ (R + r)² – (R – r)² ] = √[ 4Rr ] = 2√(Rr)
• यहाँ, R = 9 सेमी और r = 4 सेमी है।
• DCT = 2 * √(9 * 4) = 2 * √36 = 2 * 6 = 12 सेमी.
• समय की बचत: बाहरी रूप से स्पर्श करने वाले वृत्तों के लिए सीधे 2√(Rr) का उपयोग करें।
Q4. व्यंजक को सरल कीजिए: [ (cos³ θ + sin³ θ) / (cos θ + sin θ) ] + [ (cos³ θ – sin³ θ) / (cos θ – sin θ) ]
शॉर्टकट हल देखें (View Solution)
सही उत्तर: B) 2
शॉर्टकट दृष्टिकोण (मान रखने की विधि):
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका वाले व्यंजकों में, आप एक मानक कोण θ रख सकते हैं जो किसी भी हर (denominator) को शून्य न बनाए।
• मान लीजिए θ = 0° रखने पर:
sin 0° = 0, cos 0° = 1.
• व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करें:
[ (1³ + 0³) / (1 + 0) ] + [ (1³ – 0³) / (1 – 0) ] = [ 1 / 1 ] + [ 1 / 1 ] = 1 + 1 = 2.
• समय की बचत: मान रखने की विधि बीजगणितीय सरलीकरण को पूरी तरह समाप्त कर देती है!
• गणितीय प्रमाण: a³±b³ सर्वसमिकाओं का उपयोग करके:
(cos² θ – sin θ cos θ + sin² θ) + (cos² θ + sin θ cos θ + sin² θ) = (1 – sin θ cos θ) + (1 + sin θ cos θ) = 2.
शॉर्टकट दृष्टिकोण (मान रखने की विधि):
• त्रिकोणमितीय सर्वसमिका वाले व्यंजकों में, आप एक मानक कोण θ रख सकते हैं जो किसी भी हर (denominator) को शून्य न बनाए।
• मान लीजिए θ = 0° रखने पर:
sin 0° = 0, cos 0° = 1.
• व्यंजक में इन मानों को प्रतिस्थापित करें:
[ (1³ + 0³) / (1 + 0) ] + [ (1³ – 0³) / (1 – 0) ] = [ 1 / 1 ] + [ 1 / 1 ] = 1 + 1 = 2.
• समय की बचत: मान रखने की विधि बीजगणितीय सरलीकरण को पूरी तरह समाप्त कर देती है!
• गणितीय प्रमाण: a³±b³ सर्वसमिकाओं का उपयोग करके:
(cos² θ – sin θ cos θ + sin² θ) + (cos² θ + sin θ cos θ + sin² θ) = (1 – sin θ cos θ) + (1 + sin θ cos θ) = 2.
Q5. यदि किसी गोले की त्रिज्या में 10% की वृद्धि की जाती है, तो उसके आयतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
शॉर्टकट हल देखें (View Solution)
सही उत्तर: C) 33.1%
शॉर्टकट दृष्टिकोण:
• गोले का आयतन V = (4/3) * π * r³ होता है, जिसका अर्थ है कि V सीधे r³ (त्रिज्या के घन) के समानुपाती है।
• 10% वृद्धि का अर्थ है कि त्रिज्या 10 से बढ़कर 11 हो जाती है (अनुपात = 11/10)।
• आयतन अनुपात में परिवर्तन = (11/10)³ = 1331 / 1000.
• प्रतिशत वृद्धि = [ (1331 – 1000) / 1000 ] * 100 = [ 331 / 1000 ] * 100 = 33.1%.
• वैकल्पिक विधि: तीन बार 10% का क्रमिक प्रतिशत: 10% और 10% = 21%. फिर 21% और 10% = 21 + 10 + 2.1 = 33.1%.
शॉर्टकट दृष्टिकोण:
• गोले का आयतन V = (4/3) * π * r³ होता है, जिसका अर्थ है कि V सीधे r³ (त्रिज्या के घन) के समानुपाती है।
• 10% वृद्धि का अर्थ है कि त्रिज्या 10 से बढ़कर 11 हो जाती है (अनुपात = 11/10)।
• आयतन अनुपात में परिवर्तन = (11/10)³ = 1331 / 1000.
• प्रतिशत वृद्धि = [ (1331 – 1000) / 1000 ] * 100 = [ 331 / 1000 ] * 100 = 33.1%.
• वैकल्पिक विधि: तीन बार 10% का क्रमिक प्रतिशत: 10% और 10% = 21%. फिर 21% और 10% = 21 + 10 + 2.1 = 33.1%.
यह अध्ययन नोट IAS EasyWay की दैनिक समसामयिकी पहल का एक हिस्सा है।