क्रमचय आणि संचय (Permutation and Combination) – परिचय
यूपीएससी (UPSC) आणि एमपीएससी (MPSC) परीक्षांच्या CSAT पेपरमध्ये ‘क्रमचय आणि संचय’ हा एक अत्यंत महत्त्वाचा आणि गुण मिळवून देणारा विषय आहे. या विषयाचा मुख्य उद्देश हा आहे की, कोणत्याही घटनेच्या संभाव्य मार्गांची प्रत्यक्ष मोजणी न करता, गणिताच्या सूत्रांचा वापर करून एकूण शक्यता शोधणे. मोजणीची मूलभूत तत्त्वे, क्रमचय (मांडणी) आणि संचय (निवड) समजून घेणे अत्यंत आवश्यक आहे.
CSAT परीक्षेच्या दृष्टिकोनातून, या विभागातील प्रश्न केवळ सूत्रांच्या वापरावर नव्हे तर तार्किक विचारांवर आधारित असतात. या विषयावर प्रभुत्व मिळवल्याने संभाव्यता (Probability) सारख्या इतर महत्त्वाच्या विषयांचा पायाही पक्का होतो.
मूळ संकल्पना आणि सूत्रे
1. मोजणीचे मूलभूत तत्त्व (Fundamental Principle of Counting)
गुणाकाराचे तत्त्व (Multiplication Principle): जर एखादी घटना ‘m’ वेगवेगळ्या मार्गांनी घडू शकत असेल आणि दुसरी स्वतंत्र घटना ‘n’ वेगवेगळ्या मार्गांनी घडू शकत असेल, तर त्या दोन्ही घटना एकापाठोपाठ एक ‘m × n’ मार्गांनी घडू शकतात.
बेरजेचे तत्त्व (Addition Principle): जर एखादी घटना ‘m’ मार्गांनी आणि दुसरी घटना ‘n’ मार्गांनी घडू शकत असेल, आणि दोन्ही घटना एकाच वेळी घडू शकत नसतील, तर त्यापैकी कोणतीही एक घटना ‘m + n’ मार्गांनी घडू शकते.
2. फॅक्टोरियल (Factorial Notation)
पहिल्या ‘n’ नैसर्गिक संख्यांच्या गुणाकाराला n! (n फॅक्टोरियल) असे म्हणतात.
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
लक्षात ठेवा: 0! = 1 आणि 1! = 1.
3. क्रमचय / मांडणी (Permutation)
क्रमचय म्हणजे दिलेल्या वस्तूंपैकी काही किंवा सर्व वस्तू एकाच वेळी घेऊन त्यांची विशिष्ट क्रमाने केलेली मांडणी. येथे वस्तूंचा क्रम (Order) अतिशय महत्त्वाचा असतो.
सूत्र: ‘n’ वेगवेगळ्या वस्तूंपैकी ‘r’ वस्तू एकाच वेळी घेऊन केलेल्या मांडणींची संख्या nPr ने दर्शवली जाते.
nPr = n! / (n – r)!
महत्त्वाचे नियम:
१. ‘n’ पैकी ‘n’ वस्तूंची मांडणी: nPn = n!
२. वर्तुळाकार मांडणी (Circular Permutation): n वेगवेगळ्या वस्तूंची वर्तुळाकार मांडणी (n – 1)! प्रकारे करता येते.
३. पुनरावृत्तीसह मांडणी: ‘n’ वस्तूंपैकी ‘p’ वस्तू एका प्रकारच्या, ‘q’ वस्तू दुसऱ्या प्रकारच्या आणि ‘r’ वस्तू तिसऱ्या प्रकारच्या असतील, तर एकूण मांडणी = n! / (p! × q! × r!)
4. संचय / निवड (Combination)
संचय म्हणजे दिलेल्या वस्तूंपैकी काही किंवा सर्व वस्तू एकाच वेळी घेऊन त्यांची केलेली निवड. येथे निवडीचा क्रम (Order) महत्त्वाचा नसतो.
<
p class=”wp-block-paragraph”>सूत्र: ‘n’ वेगवेगळ्या वस्तूंपैकी ‘r’ वस्तूंची निवड करण्याची संख्या nCr ने दर्शवली जाते.
nCr = n! / [r! × (n – r)!]
महत्त्वाचे गुणधर्म:
१. nCr = nCn-r
२. nC0 = 1 आणि nCn = 1
३. nCr + nCr-1 = n+1Cr
युक्त्या आणि शॉर्टकट्स (Tricks and Shortcuts)
- क्रमचय आणि संचय ओळखणे: स्वतःला विचारा: “येथे क्रम महत्त्वाचा आहे का?” जर उत्तर ‘हो’ असेल (उदा. पासवर्ड तयार करणे, रांगेत बसणे, शब्द तयार करणे), तर तो क्रमचय (Permutation) आहे. जर उत्तर ‘नाही’ असेल (उदा. समिती बनवणे, संघ निवडणे), तर तो संचय (Combination) आहे.
- ‘Tie-String’ पद्धत (एकत्र असण्यासाठी): जेव्हा काही विशिष्ट वस्तू नेहमी एकत्र असाव्यात अशी अट असते, तेव्हा त्या सर्व वस्तूंना एकच गट (एक युनिट) माना. त्यांची मांडणी काढा आणि नंतर त्या गटातील वस्तूंच्या अंतर्गत मांडणीने गुणा.
- ‘Gap’ पद्धत (एकत्र न होण्यासाठी): जेव्हा काही वस्तू एकत्र नको असतात, तेव्हा आधी इतर वस्तूंची मांडणी करा, त्यांच्यामध्ये ‘रिकाम्या जागा (Gaps)’ तयार करा आणि त्या रिकाम्या जागांवर अटीतील वस्तूंची मांडणी करा.
सोडवलेली उदाहरणे (Solved Examples)
उदाहरण १: शब्द तयार करणे (पुनरावृत्तीसह मांडणी)
प्रश्न: ‘ASSASSINATION’ या शब्दातील अक्षरांची किती वेगवेगळ्या प्रकारे मांडणी करता येईल?
स्टेप-बाय-स्टेप उपाय:
१. एकूण अक्षरे मोजा: शब्दात एकूण १३ अक्षरे आहेत.
२. पुनरावृत्ती ओळखा:
– A ३ वेळा येतो
– S ४ वेळा येतो
– I २ वेळा येतो
– N २ वेळा येतो
– T आणि O प्रत्येकी १ वेळा येतात.
३. सूत्र वापरा:
एकूण मांडणी = n! / (p! × q! × r! …)
एकूण मांडणी = 13! / (3! × 4! × 2! × 2!)
४. सोपे रूप द्या:
= (13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4!) / (6 × 4! × 2 × 2)
= १०,८१,०८०० प्रकारे.
उदाहरण २: समिती स्थापन करणे (संचय)
प्रश्न: ६ पुरुष आणि ४ महिलांमधून ५ सदस्यांची समिती स्थापन करायची आहे. या समितीत नक्की २ महिला असतील अशा प्रकारे किती समित्या स्थापन करता येतील?
स्टेप-बाय-स्टेप उपाय:
१. अट समजून घ्या: ५ सदस्यांची समिती हवी आहे. त्यात नक्की २ महिला हव्या आहेत. याचाच अर्थ, उर्वरित ३ सदस्य पुरुष असावेत.
२. महिला निवडण्याचे प्रकार: ४ महिलांमधून २ महिलांची निवड.
प्रकार = 4C2 = 4! / (2! × 2!) = (4 × 3) / (2) = ६ प्रकारे.
३. पुरुष निवडण्याचे प्रकार: ६ पुरुषांमधून ३ पुरुषांची निवड.
प्रकार = 6C3 = 6! / (3! × 3!) = (6 × 5 × 4) / (6) = २० प्रकारे.
४. गुणाकाराचे तत्त्व वापरा:
एकूण समित्या = ६ × २० = १२० प्रकारे.
उदाहरण ३: “नेहमी एकत्र” असण्याची अट
प्रश्न: ५ मुले आणि ३ मुली एका रांगेत अशा प्रकारे किती वेगवेगळ्या प्रकारे बसू शकतील की सर्व ३ मुली नेहमी एकत्र बसतील?
स्टेप-बाय-स्टेप उपाय:
१. सर्व ३ मुलींना एकच युनिट माना (G1-G2-G3).
२. आता, ५ मुले + १ “मुलींचे युनिट” = एकूण ६ घटक झाले.
३. या ६ घटकांची रांगेतील मांडणी ६! प्रकारे = ७२० प्रकारे करता येते.
४. त्या ३ मुली आपापसात ३! म्हणजे ६ प्रकारे जागा बदलू शकतात.
५. एकूण मांडणी = ७२० × ६ = ४३२० प्रकारे.
उदाहरण ४: “कधीही एकत्र नको” असण्याची अट
प्रश्न: ४ मुले आणि ३ मुली एका रांगेत अशा प्रकारे किती प्रकारे बसू शकतील की कोणत्याही दोन मुली एकत्र बसणार नाहीत?
स्टेप-बाय-स्टेप उपाय:
१. ‘Gap’ पद्धत वापरा. प्रथम ४ मुलांना बसवा.
२. ४ मुले रांगेत ४! म्हणजे २४ प्रकारे बसू शकतात.
मांडणी: _ B _ B _ B _ B _
३. यामुळे ५ ‘गॅप्स’ (रिकाम्या जागा) तयार होतात जेथे मुली बसू शकतात.
४. ३ मुलींना या ५ गॅप्समध्ये बसवायचे आहे. म्हणजेच ५ पैकी ३ जागांची निवड व मांडणी = 5P3.
5P3 = 5! / 2! = (5 × 4 × 3) = ६० प्रकारे.
५. एकूण मांडणी = २४ × ६० = १४४० प्रकारे.
सामान्य चुका टाळण्यासाठी प्रो-टिप्स (Pro-Tips)
- क्रमचय आणि संचय यात गोंधळ करू नका: प्रश्न काळजीपूर्वक वाचा. ‘कपाटात पुस्तके रचणे’ हे क्रमचय आहे, तर ‘वाचण्यासाठी पुस्तके निवडणे’ हा संचय आहे.
- ‘आणि (AND)’ विरुद्ध ‘किंवा (OR)’: ‘आणि’ असेल तर बहुतांश वेळा गुणाकार (×) करावा लागतो, तर ‘किंवा’ असेल तेव्हा बेरीज (+) करावी लागते.
- शून्याचा फॅक्टोरियल: कधीही विसरू नका की 0! = 1. अनेक विद्यार्थी ते 0 घेतात, ज्यामुळे गणितात चूक होते.
सराव प्रश्न (Practice Questions)
- ७ व्यंजने (Consonants) आणि ४ स्वर (Vowels) यांमधून, ३ व्यंजने आणि २ स्वर असलेले किती शब्द तयार करता येतील?
- एका पार्टीमध्ये प्रत्येक व्यक्ती इतर प्रत्येकाशी हस्तांदोलन करते. जर एकूण १०५ हस्तांदोलने झाली असतील, तर पार्टीत किती व्यक्ती उपस्थित होत्या?
- २, ३, ५, ६, ७ आणि ९ या अंकांपासून, ५ ने भाग जाणाऱ्या आणि अंकांची पुनरावृत्ती न होणाऱ्या ३-अंकी किती संख्या तयार करता येतील?
- एका पिशवीत २ पांढरे, ३ काळे आणि ४ लाल शर्ट आहेत. जर काढलेल्या शर्टांमध्ये किमान एक काळा शर्ट असणे आवश्यक असेल, तर पिशवीतून ३ शर्ट किती प्रकारे काढता येतील?
- ‘DIRECTOR’ या शब्दातील अक्षरांची अशी किती प्रकारे मांडणी करता येईल की स्वर (Vowels) नेहमी एकत्र राहतील?
उत्तरे: १. २५२००; २. १५; ३. २०; ४. ६४; ५. २१६०.
सराव प्रश्न
- A. 210
- B. 2520
- C. 25200
- D. 27720
👁️ उत्तर आणि स्पष्टीकरण पहा
बरोबर उत्तर: A) 210
स्पष्टीकरण:
Select 3 consonants: 7C3 = 35. Select 2 vowels: 4C2 = 6. Total selections = 35 × 6 = 210. Now, arrange these 5 letters in 5! ways = 120. Total words = 210 × 120 = 25200.
- A. 14
- B. 15
- C. 16
- D. 21
👁️ उत्तर आणि स्पष्टीकरण पहा
बरोबर उत्तर: A) 14
स्पष्टीकरण:
Total handshakes for n people = nC2 = n(n-1)/2. So, n(n-1)/2 = 105 => n(n-1) = 210. 15 × 14 = 210, so n = 15.
- A. 15
- B. 20
- C. 25
- D. 30
👁️ उत्तर आणि स्पष्टीकरण पहा
बरोबर उत्तर: A) 15
स्पष्टीकरण:
For a number to be divisible by 5, the last digit must be 5. So, the last digit is fixed (1 way). The remaining 2 places can be filled by any of the remaining 5 digits in 5P2 = 5 × 4 = 20 ways.
- A. 44
- B. 64
- C. 84
- D. 104
👁️ उत्तर आणि स्पष्टीकरण पहा
बरोबर उत्तर: A) 44
स्पष्टीकरण:
Total ways to draw 3 shirts = 9C3 = 84. Ways to draw NO black shirt = select 3 from the 6 non-black shirts = 6C3 = 20. Ways to draw at least one black = Total – No black = 84 – 20 = 64.