CSAT मध्ये ‘घड्याळ’ (Clocks) या घटकाची ओळख आणि महत्त्व
UPSC आणि MPSC च्या CSAT (नागरी सेवा कल चाचणी) पेपरमध्ये गणितीय आणि तार्किक क्षमतेच्या विभागात ‘घड्याळ’ हा एक अतिशय महत्त्वाचा घटक आहे. या घटकावर आधारित प्रश्न उमेदवारांची अवकाशीय समज (spatial reasoning), गणिताची गती आणि कोनांच्या संकल्पना तपासतात. घड्याळावरील प्रश्न प्रामुख्याने तास काटा (Hour hand) आणि मिनिट काटा (Minute hand) यांच्या हालचालीवर आणि दिवसाच्या विविध वेळांमध्ये त्यांच्यात तयार होणाऱ्या कोनांवर आधारित असतात. काटे कसे फिरतात याचा वेग निश्चित असल्यामुळे, योग्य सूत्रे आणि तर्काचा वापर करून हे प्रश्न अचूक आणि वेगात सोडवता येतात. या घटकावर प्रभुत्व मिळवणे म्हणजे परीक्षेतील काही निश्चित गुण आपल्या खिशात टाकण्यासारखे आहे.
मूळ संकल्पना, सूत्रे आणि ट्रिक्स
घड्याळ हे मुळात ३६० अंशांचे (360°) एक वर्तुळ असते. हे वर्तुळ १२ समान भागांमध्ये (तास) आणि ६० लहान भागांमध्ये (मिनिटे) विभागलेले असते.
१. काट्यांचा वेग (Speed of Hands)
- मिनिट काटा: एका तासात (६० मिनिटांत) पूर्ण ३६० अंश फिरतो.
वेग = ३६०° / ६० = ६° प्रति मिनिट. - तास काटा: १२ तासांत (७२० मिनिटांत) पूर्ण ३६० अंश फिरतो.
वेग = ३६०° / ७२० = ०.५° प्रति मिनिट. - सापेक्ष वेग (Relative Speed): मिनिट काटा तास काट्यापेक्षा जास्त वेगाने फिरतो.
दोघांचा सापेक्ष वेग = ६° – ०.५° = ५.५° प्रति मिनिट (किंवा ११/२° प्रति मिनिट).
२. काट्यांमधील कोन काढण्याचे सूत्र
कोणत्याही वेळेला (H तास आणि M मिनिटे) तास आणि मिनिट काट्यांमधील कोन (θ) काढण्यासाठी हे वैश्विक सूत्र वापरा:
θ = | ३०H – ५.५M |
टीप: जर कोनाचे उत्तर १८०° पेक्षा जास्त आले आणि पर्यायात तो कोन नसेल, तर उत्तर ३६०° मधून वजा करा (प्रतिक्षेप कोन / Reflex Angle).
३. काट्यांच्या विशिष्ट स्थिती (Special Positions)
१२ तासांच्या कालावधीत घड्याळाचे काटे काही विशिष्ट स्थितींमध्ये येतात:
- एकावर एक येणे (0° किंवा Coincide): १२ तासांत ११ वेळा आणि २४ तासांत २२ वेळा काटे एकावर एक येतात. ११:०० ते १:०० दरम्यान काटे फक्त बरोबर १२:०० वाजता एकावर एक येतात.
- विरुद्ध दिशेला असणे (180° किंवा Opposite): १२ तासांत ११ वेळा आणि २४ तासांत २२ वेळा काटे एकमेकांच्या विरुद्ध दिशेला असतात. ५:०० ते ७:०० दरम्यान काटे फक्त बरोबर ६:०० वाजता एकमेकांच्या विरुद्ध असतात.
- काटकोन करणे (90° किंवा Right Angle): १२ तासांत २२ वेळा आणि २४ तासांत ४४ वेळा काटे एकमेकांशी ९० अंशाचा कोन करतात.
४. काटे एकावर एक येण्याची अचूक वेळ शोधण्याचे सूत्र
H आणि H+१ या वेळेच्या दरम्यान काटे नक्की कधी एकावर एक येतील हे शोधण्यासाठी खालील सोपे सूत्र आहे:
(६०/११) × H मिनिटे H वाजून गेल्यावर.
सोडवलेली उदाहरणे (स्पष्टीकरणासह)
उदाहरण १: विशिष्ट वेळेचा कोन शोधणे
प्रश्न: ३ वाजून ४० मिनिटांनी (३:४०) घड्याळाच्या तास काटा आणि मिनिट काटा यांच्यात किती अंशाचा कोन असेल?
पायरी १: H (तास) = ३ आणि M (मिनिटे) = ४०.
पायरी २: सूत्र वापरा: θ = | ३०H – ५.५M |
पायरी ३: θ = | ३०(३) – ५.५(४०) | = | ९० – २२० | = | -१३० | = १३०°.
उत्तर: ३:४० वाजता काट्यांमध्ये १३०° चा कोन असेल.
उदाहरण २: काटे एकावर एक येण्याची अचूक वेळ शोधणे
प्रश्न: ४ ते ५ वाजण्याच्या दरम्यान कोणत्या अचूक वेळेला घड्याळाचे दोन्ही काटे एकावर एक (0°) येतील?
पायरी १: सूत्र वापरा: (६०/११) × H मिनिटे.
पायरी २: येथे H = ४ आहे. गणित: (६०/११) × ४ = २४०/११ मिनिटे.
पायरी ३: अपूर्णांकाचे मिश्र संख्येत रूपांतर करा: २४० ÷ ११ = २१ आणि बाकी ९. म्हणजेच २१ ९/११ मिनिटे.
उत्तर: ४ वाजून २१ ९/११ मिनिटांनी दोन्ही काटे एकावर एक येतील.
उदाहरण ३: काटे विरुद्ध दिशेला असणे (१८०° कोन)
प्रश्न: ७ ते ८ वाजण्याच्या दरम्यान कोणत्या वेळेला दोन्ही काटे सरळ रेषेत असतील पण एकावर एक नसतील?
पायरी १: सरळ रेषेत पण एकावर एक नाहीत म्हणजे १८०° चा कोन. सूत्र: १८० = | ३०H – ५.५M |
पायरी २: H = ७. १८० = | ३०(७) – ५.५M |
पायरी ३: १८० = | २१० – ५.५M |.
२१० – ५.५M = १८० => ५.५M = ३० => M = ३० / ५.५ = ६० / ११ = ५ ५/११ मिनिटे.
उत्तर: ७ वाजून ५ ५/११ मिनिटांनी काटे एकमेकांच्या विरुद्ध सरळ रेषेत असतील.
चुका टाळण्यासाठी प्रो-टिप्स (Pro-Tips)
- तास काट्याची हालचाल: बऱ्याच विद्यार्थ्यांची अशी धारणा असते की मिनिट काटा फिरताना तास काटा जागेवरच स्थिर राहतो. हे चुकीचे आहे. मिनिटाला तास काटा ०.५° पुढे सरकतो. θ = | ३०H – ५.५M | हे सूत्र ही हालचाल आपोआप विचारात घेते.
- दोन प्रकारचे कोन: घड्याळाच्या दोन काट्यांमध्ये एकाच वेळी दोन कोन तयार होतात – एक आतला कोन (जो १८०° पेक्षा लहान असतो) आणि दुसरा बाहेरचा कोन (जो १८०° पेक्षा मोठा असतो). प्रश्नात नेमके काय विचारले आहे ते पाहून जर उत्तर १८०° पेक्षा मोठे येत असेल तर ३६०° मधून वजा करायला विसरू नका.
- काट्यांच्या भेटींची संख्या: २४ तासांत काटे २४ वेळा एकावर एक येत नाहीत, तर ते फक्त २२ वेळा एकावर एक येतात. तसेच ते २२ वेळाच एकमेकांच्या विरुद्ध असतात. हा अपवाद नेहमी लक्षात ठेवा.
सराव प्रश्न
- A. 120°
- B. 130°
- C. 140°
- D. 150°
👁️ उत्तर आणि स्पष्टीकरण पहा
बरोबर उत्तर: B) 130°
स्पष्टीकरण:
Using formula θ = | 30H – 5.5M |. Here H=8, M=20. θ = | 30(8) – 5.5(20) | = | 240 – 110 | = 130°.
- A. 49 1/11 minutes past 9
- B. 50 minutes past 9
- C. 45 minutes past 9
- D. 48 2/11 minutes past 9
👁️ उत्तर आणि स्पष्टीकरण पहा
बरोबर उत्तर: A) 49 1/11 minutes past 9
स्पष्टीकरण:
Formula for coincidence: (60/11) × H. Here H=9. (60/11) × 9 = 540/11 = 49 1/11 minutes past 9.
- A. 22
- B. 24
- C. 44
- D. 48
👁️ उत्तर आणि स्पष्टीकरण पहा
बरोबर उत्तर: C) 44
स्पष्टीकरण:
The hands are at right angles 22 times in 12 hours. Therefore, in a 24-hour day, they are at right angles 44 times.
- A. 145°
- B. 150°
- C. 155°
- D. 160°
👁️ उत्तर आणि स्पष्टीकरण पहा
बरोबर उत्तर: C) 155°
स्पष्टीकरण:
Total time elapsed from 12 noon to 5:10 is 5 hours and 10 minutes = 310 minutes. The hour hand moves at 0.5° per minute. Total angle = 310 × 0.5° = 155°.
- A. 42 7/11 minutes past 5
- B. 43 7/11 minutes past 5
- C. 44 minutes past 5
- D. 45 minutes past 5
👁️ उत्तर आणि स्पष्टीकरण पहा
बरोबर उत्तर: B) 43 7/11 minutes past 5
स्पष्टीकरण:
Using θ = | 30H – 5.5M |. For 90°: 90 = | 150 – 5.5M |. Second case (after 5:30) is 150 – 5.5M = -90 => 5.5M = 240 => M = 240/5.5 = 480/11 = 43 7/11 minutes past 5.