UPSC/MPSC CSAT मार्गदर्शक: घन (Cubes)

1. प्रस्तावना आणि महत्त्व

UPSC आणि MPSC CSAT परीक्षांमध्ये अवकाशीय बुद्धिमत्ता (Spatial Reasoning) मोठ्या प्रमाणावर तपासली जाते. घन (Cubes) – विशेषतः रंगवलेले घन ज्यांना कापून लहान समान तुकडे केले जातात – हे रिझनिंग (Reasoning) विभागातील हमखास विचारले जाणारे प्रश्न आहेत. हे प्रश्न वरवर पाहता गुंतागुंतीचे वाटतात कारण त्यासाठी ३D (3-Dimensional) वस्तूची कल्पना करावी लागते, परंतु साध्या गणितीय सूत्रांचा आणि तार्किक पद्धतीचा वापर करून हे प्रश्न अत्यंत अचूकपणे आणि वेगाने सोडवता येतात.

या विषयावर प्रभुत्व मिळवणे म्हणजे CSAT मधील खात्रीशीर गुण मिळवणे होय. कारण या प्रश्नांची मूळ रचना (Structure) क्वचितच बदलते. एकदा तुम्ही मूलभूत सूत्रे आणि घनाचे पृष्ठभाग, कडा आणि कोपरे कसे कार्य करतात हे समजून घेतले की, तुम्ही रंगवलेल्या घनाचे कोणतेही प्रश्न एका मिनिटाच्या आत सोडवू शकाल.

2. मूलभूत संकल्पना, सूत्रे आणि युक्त्या

एका सामान्य घनाला (Cube) खालील गोष्टी असतात:

• ६ पृष्ठभाग (Faces): सपाट बाजू.
• १२ कडा (Edges): जिथे दोन पृष्ठभाग एकत्र मिळतात त्या रेषा.
• ८ कोपरे (Corners/Vertices): जिथे तीन कडा एकत्र मिळतात ते बिंदू.

जेव्हा एखादा मोठा घन (उदा. ज्याची बाजू ‘L’ आहे) बाहेरून सर्व बाजूंनी रंगवला जातो आणि नंतर त्याचे समान आकाराचे लहान घन (ज्याची बाजू ‘l’ आहे) कापून तयार केले जातात, तेव्हा आपण ‘n’ हे एक मूलभूत गुणोत्तर (Ratio) वापरतो:

n = (मोठ्या घनाची बाजू) / (लहान घनाची बाजू)

तयार झालेल्या लहान घनांची एकूण संख्या = n³

महत्त्वाची सूत्रे (Core Formulas)

मोठ्या रंगवलेल्या घनामधील लहान घनांच्या स्थानावरून (Position), त्यांना किती रंगवलेले पृष्ठभाग असतील हे ठरते:

• १. तीन पृष्ठभाग रंगवलेले (कोपऱ्यावरील घन – Corner cubes): हे नेहमी मोठ्या घनाच्या कोपऱ्यांवर असतात. ‘n’ ची किंमत काहीही असली तरी (n > १ असल्यास), यांची संख्या नेहमी निश्चित असते.
  सूत्र: ८
• २. दोन पृष्ठभाग रंगवलेले (मध्य घन – Middle cubes): हे मोठ्या घनाच्या कडांवर (Edges), कोपऱ्यांच्या मध्ये असतात.
  सूत्र: १२ × (n – २)
• ३. एक पृष्ठभाग रंगवलेला (केंद्रीय घन – Central cubes): हे मोठ्या घनाच्या पृष्ठभागांच्या मध्यभागी असतात.
  सूत्र: ६ × (n – २)²
• ४. शून्य पृष्ठभाग रंगवलेले (आतील घन – Inner/Core cubes): हे मोठ्या घनाच्या पूर्णपणे आत लपलेले असतात आणि त्यांना कोणताही रंग लागलेला नसतो.
  सूत्र: (n – २)³

3. सोडवलेली उदाहरणे आणि स्पष्टीकरण

उदाहरण १: मूलभूत रंगवलेला घन

प्रश्न: १२ सेमी बाजू असलेला एक मोठा घन सर्व बाजूंनी लाल रंगाने रंगवला आहे. त्यानंतर त्याचे ३ सेमी बाजू असलेले लहान घन कापून तयार केले. अशा किती लहान घनांचा ‘केवळ एकच’ पृष्ठभाग लाल रंगाने रंगवला असेल?

स्पष्टीकरण:
१. आधी ‘n’ ची किंमत काढा: n = मोठ्या घनाची बाजू / लहान घनाची बाजू = १२ / ३ = ४.
२. “फक्त एक पृष्ठभाग रंगवलेला” यासाठीचे सूत्र शोधा: ६ × (n – २)².
३. सूत्रात n = ४ ठेवा: ६ × (४ – २)².
४. गणना करा: ६ × (२)² = ६ × ४ = २४.
उत्तर: २४ घनांचा केवळ एक पृष्ठभाग रंगवलेला असेल.

उदाहरण २: आतील न रंगवलेले घन शोधणे

प्रश्न: लाकडाचा एक भरीव घन सर्व बाजूंनी निळ्या रंगाने रंगवला आहे आणि नंतर तो कापून १२५ समान लहान घन तयार केले आहेत. यापैकी किती लहान घनांवर कोणताही रंग नसेल?

स्पष्टीकरण:
१. प्रथम, एकूण घनांच्या संख्येवरून ‘n’ शोधा. एकूण घन = n³.
२. म्हणून, n³ = १२५, याचा अर्थ n = ५.
३. आपल्याला “शून्य पृष्ठभाग रंगवलेले” (आतील घन) काढायचे आहेत.
४. सूत्र: (n – २)³.
५. n = ५ ठेवा: (५ – २)³ = ३³ = २७.
उत्तर: २७ घनांवर कोणताही रंग नसेल.

उदाहरण ३: समोरासमोरील बाजूंवर वेगवेगळे रंग

प्रश्न: एका मोठ्या घनाच्या दोन समोरासमोरील बाजूंना लाल (Red), दोन समोरासमोरील बाजूंना निळा (Blue), आणि उरलेल्या दोन समोरासमोरील बाजूंना हिरवा (Green) रंग दिला आहे. त्यानंतर त्याचे ६४ लहान घन कापले गेले. अशा किती लहान घनांचा फक्त निळा रंग असेल (आणि दुसरा कोणताही रंग नसेल)?

स्पष्टीकरण:
१. ‘n’ शोधा: n³ = ६४, त्यामुळे n = ४.
२. प्रश्नात विचारले आहे की ‘फक्त निळा’ रंग असलेले घन. याचा अर्थ त्यांचा ‘केवळ एकच’ पृष्ठभाग रंगवलेला असला पाहिजे आणि तो पृष्ठभाग निळ्या रंगाचा असला पाहिजे.
३. केवळ एक पृष्ठभाग रंगवलेले घन मोठ्या घनाच्या पृष्ठभागांवर (Faces) असतात. एका पृष्ठभागासाठी सूत्र (n – २)² आहे.
४. निळ्या रंगाचे किती पृष्ठभाग आहेत? फक्त दोन.
५. या दोन निळ्या पृष्ठभागांसाठी गणना करा: २ × (n – २)² = २ × (४ – २)² = २ × २² = २ × ४ = ८.
उत्तर: ८ घनांवर फक्त निळा रंग असेल.

4. चुका टाळण्यासाठी प्रो-टिप्स (Pro-Tips)

• “किमान” (At least) विरूद्ध “नेमके” (Exactly): या शब्दांकडे बारकाईने लक्ष द्या. “किमान दोन पृष्ठभाग रंगवलेले” (At least 2) असे विचारल्यास, तुम्हाला २ पृष्ठभाग रंगवलेले ‘आणि’ ३ पृष्ठभाग रंगवलेले घन यांची बेरीज करावी लागेल. “नेमके दोन पृष्ठभाग” (Exactly 2) म्हणजे केवळ २ पृष्ठभाग रंगवलेले घन.
• कापणे (Cuts) विरुद्ध तुकडे (Pieces): एका अक्षावर ‘x’ वेळा कापल्यास ‘x+१’ तुकडे मिळतात. जर एका घनाला लांबी, रुंदी आणि उंची या तिन्ही बाजूंनी ३ वेळा कापले, तर एकूण ४ × ४ × ४ = ६४ तुकडे मिळतील. या प्रकरणात ‘n’ ची किंमत ४ असते.
• कोपऱ्याचा सापळा (The Corner Trap): लक्षात ठेवा, ३ पृष्ठभाग रंगवलेल्या घनांची संख्या नेहमी ८ असते, मोठ्या घनाचा आकार कोणताही असो (अपवाद वगळता).
• गणिताची खात्री करा (Cross-check): ३ रंगवलेले + २ रंगवलेले + १ रंगवलेले + ० रंगवलेले पृष्ठभाग असलेल्या घनांची बेरीज नेहमी एकूण घनाच्या (n³) इतकीच आली पाहिजे!

5. सरावासाठी प्रश्न (Practice Questions)

प्रश्न १. एका घनाला सर्व बाजूंनी पिवळा रंग दिला आहे आणि त्याचे २१६ समान आकाराचे लहान घन कापले आहेत. किती घनांचे ‘नेमके दोन’ पृष्ठभाग रंगवलेले असतील?

1. ४८
2. ३६
3. २४
4. ६४

(संकेत: n³ = २१६, त्यामुळे n = ६. २ पृष्ठभागांसाठी सूत्र वापरा: १२ × (n – २). उत्तर: १)

प्रश्न २. ५ सेमी बाजू असलेल्या घनाचे सर्व पृष्ठभाग रंगवले आहेत. जर त्याचे १ सेमी बाजू असलेले लहान घन कापले, तर किती घनांचा ‘किमान एक’ (At least one) पृष्ठभाग रंगवलेला असेल?

1. १२५
2. ९८
3. २७
4. ११६

(संकेत: एकूण घनातून ‘कोणताही रंग नसलेले’ घन वजा करणे अधिक सोपे आहे. एकूण = १२५. रंग नसलेले = (५-२)³ = २७. उत्तर: १२५ – २७ = ९८. पर्याय २)

प्रश्न ३. एका घनाच्या तीन लगतच्या (Adjacent) बाजूंना लाल रंग दिला आहे आणि उरलेल्या तीन बाजूंना काळा रंग दिला आहे. त्यानंतर त्याचे ६४ लहान घन कापले. किती घनांचा फक्त एकच पृष्ठभाग लाल रंगाने रंगवला असेल?

1. १२
2. ८
3. १६
4. २४

(संकेत: ‘n’ शोधा. फक्त एक पृष्ठभाग पृष्ठभागाच्या मध्यभागी रंगवला जातो. लाल रंगाचे किती पृष्ठभाग आहेत? ३ पृष्ठभाग. ३ × (n-२)² वापरा. उत्तर: १)